Théorème de Karush-Kuhn-Tucker
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Théorème
Théorème de Karush-Kuhn-Tucker
Hypothèses:
- \(f,g,h\) sont \(\mathcal C^1\) et définies sur \(U\) un ouvert de \(H\) Espace de Hilbert
- \(x_*\) est un Minimum local de \(f\) sur \(K:=\{g=0\}\cap\{h=0\}\)
- \(dg(x_*)\) est surjective (on a l'indépendance des contraintes d'égalité)
- les contraintes en \(x_*\) sont qualifiées
- on définit \(\mathscr L:U\times E\times{\Bbb R}^p\to {\Bbb R}\) le Lagrangien par : $$\mathscr L:(x,\lambda,\mu)\mapsto f(x)+\langle{\lambda,g(x)}\rangle _E+\langle{\mu,h}\rangle _{{\Bbb R}^p}$$
Résultats:
- il existe \((\lambda_*,\mu_*)\) qui vérifient...
- \(\partial_x\mathscr L(x_*,\lambda_*,\mu_*)=\partial_\lambda\mathscr L(x_*,\lambda_*,\mu_*)=0\)
Seules les Contrainte actives font apparaître des multiplicateurs non nuls : \(\forall j\in[\![1,p]\!]\), \(\mu_{*,j}h_j(x_*)=0\)
Equivalence?:
Résumé: Etend le
Théorème des extrémas liés aux
Espace de Hilberts et y ajoute les contraintes d'inégalité.
(
Optimisation sous contraintes mixtes d'égalité et d'inégalité)
END
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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Comment changent les hypothèses du théorème de Karush-Kuhn-Tucker si \(g=C_gx+b_g\) est affine ?
Verso: La condition de surjectivité de \(dg(x_*)=C_g\) peut être affaiblie en $$E_0:=\operatorname{Im} C_g\text{ est fermé}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END
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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Comment changent les hypothèses du théorème de Karush-Kuhn-Tucker si les contraintes d'égalité et d'inégalité sont affines et en nombre fini ?
Verso: Dans ce cas, la
qualification des contraintes est toujours vérifiée.
Bonus: Les conclusions s'appliquent à tout minimum local \(x_*\) de \(f\) dans \(\{g=0\}\cap\{h\leqslant 0\}\).
Carte inversée ?:
END
